\chapter{\Huge 自然哲学之数学原理 \\ \Large 第三卷：论宇宙系统 \\ \large 命题：万有引力定律之推导}
\author{伊萨克·牛顿 著}
\date{1687年}
	
	\begin{abstract}
		本文摘自《自然哲学之数学原理》第三卷，阐述使天体维系于其轨道之力的数学原理。通过数学推导证明，使月球绕地球运行之力与地面重力实为同一种力，且该力与距离平方成反比。进而推广至宇宙万物，得出万有引力定律：任何两质点间存在相互吸引力，该力与两质点质量乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，即 $F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}$。此定律成功解释了行星运动、海洋潮汐、彗星轨道等自然现象。
	\end{abstract}
	
	\section{数学引理}
	
	\subsection{向心力表达式}
	对于匀速圆周运动，向心加速度可表示为：
	\[
	a = \frac{v^2}{r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}
	\]
	其中 $v$ 为线速度，$r$ 为轨道半径，$T$ 为运动周期。
	
	\subsection{开普勒第三定律}
	行星公转周期的平方与其轨道半长轴的立方成正比：
	\[
	T^2 \propto r^3
	\]
	
	\section{平方反比关系的推导}
	
	\subsection{命题I}
	\textbf{定理：} 使行星维系于其轨道之力指向太阳，且与该行星到太阳中心距离的平方成反比。
	
	\textbf{证明：} 由向心力公式和开普勒第三定律：
	\[
	a = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \propto \frac{r}{r^3} = \frac{1}{r^2}
	\]
	根据第二运动定律 $F = ma$，故有：
	\[
	F \propto \frac{1}{r^2}
	\]
	证毕。
	
	\subsection{命题II}
	\textbf{定理：} 使木星卫星维系于其轨道之力指向木星，且与该卫星到木星中心距离的平方成反比。
	
	证明同上，略。
	
	\section{天地合力之验证}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
%		\includegraphics[width=0.4\textwidth]{earth_moon.png}
		\caption{地球-月球系统引力作用示意图}
		\label{fig:earth_moon}
	\end{figure}
	
	\subsection{月球加速度的计算}
	若地球引力延伸至月球，且满足平方反比律，则月球处重力加速度应为：
	\[
	g_m = g \left( \frac{R}{r} \right)^2
	\]
	其中 $g$ 为地表重力加速度，$R$ 为地球半径，$r$ 为月地距离。
	
	实测数据：
	\begin{itemize}
		\item $R \approx 3960$ 英里
		\item $r \approx 60R$
		\item $g \approx 32.2$ 英尺/秒$^2$
	\end{itemize}
	
	计算得：
	\[
	g_m = 32.2 \times \frac{1}{3600} \approx 0.00894 \text{英尺/秒}^2
	\]
	
	\subsection{实际观测值}
	月球绕地周期 $T = 27.32$ 天，轨道半径 $r = 60R$，其向心加速度为：
	\[
	a_m = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \approx 0.00890 \text{英尺/秒}^2
	\]
	
	两者在测量误差范围内完美吻合，证实了平方反比关系的正确性。
	
	\section{万有引力定律的建立}
	
	\subsection{质量比例的确定}
	由第三运动定律，作用力与反作用力相等，故引力必与两物体质量的乘积成正比：
	\[
	F \propto m_1 m_2
	\]
	
	\subsection{万有引力公式}
	综合以上结论，得到万有引力定律的完整表达式：
	\[
	F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
	\]
	其中 $G$ 为万有引力常数。
	
	\section{现象解释}
	
	万有引力定律成功解释了以下自然现象：
	
	\subsection{行星运动}
	太阳的引力为行星提供向心力，使行星沿椭圆轨道运行，完全符合开普勒三定律。
	
	\subsection{海洋潮汐}
	月球和太阳的引力共同作用，引起地球上海洋的潮汐现象。月球的引力作用为主要因素，太阳的引力起调制作用。
	
	\subsection{彗星轨道}
	即使轨道极其扁长的彗星，其运动也完全遵守万有引力定律，这为彗星的预测和研究提供了理论基础。
	
	\subsection{重量差异}
	物体在不同行星表面的重量不同，这是因为各行星的质量和半径不同，导致表面重力加速度各异。
	
	\section{结论}
	
	通过严格的数学推导和观测验证，我们得出以下结论：
	
	\begin{enumerate}
		\item 宇宙间所有物质粒子间都存在相互吸引力
		\item 该引力与两粒子质量的乘积成正比
		\item 该引力与它们之间距离的平方成反比
		\item 该定律普适适用于一切天体运动和地面物体
	\end{enumerate}
	
	万有引力定律的发现不仅统一了天地运动的规律，更为后世物理学的发展奠定了坚实基础。这一成就彰显了数学在自然科学研究中的强大力量，体现了自然界的统一性和简单性。
	